지수·로그 함수의 미분법: 기초부터 차근차근 알아보기

지수 함수와 로그 함수는 실생활에서도 자주 등장하는 중요한 함수입니다. 이들의 미분법을 쉽게 이해하도록 하나씩 살펴보겠습니다.

1. 지수 함수의 정의와 미분

(1) 지수 함수의 정의

지수 함수는 다음과 같은 형태를 가집니다:
\(
f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)
\)

• 여기서 \( a \)는 상수(밑)이고, \( x \)는 지수(지표)입니다.
• 특히 밑이 \( e \)인 함수 \( f(x) = e^x \)를 자연 지수 함수라고 부릅니다. 여기서 \( e \approx 2.718 \)입니다.

(2) 지수 함수의 미분법

• 일반적인 지수 함수 \( a^x \)
  \(
  \frac{d}{dx} [a^x] = a^x \ln a
  \)
• 여기서 ( \ln a )는 ( a )의 자연로그입니다. 즉, ( \ln a )는 상수입니다.
• 자연 지수 함수 \( e^x \):
  \(
  \frac{d}{dx} [e^x] = e^x
  \)
• 자연 지수 함수는 자기 자신이 미분 값이 되는 특별한 성질을 가집니다.

(3) 지수 함수 미분의 예제

예제 1: \( f(x) = 2^x \)

\(
\frac{d}{dx} [2^x] = 2^x \ln 2
\)

 

예제 2: \( f(x) = e^{3x} \)

\(
\frac{d}{dx} [e^{3x}] = e^{3x} \cdot \frac{d}{dx}[3x] = 3e^{3x}
\)

여기서 \( \frac{d}{dx}[3x] = 3 \)입니다.

2. 로그 함수의 정의와 미분

(1) 로그 함수의 정의

로그 함수는 다음과 같은 형태로 정의됩니다:

\(
f(x) = \log_a x \quad (x > 0, a > 0, a \neq 1)
\)

 

• 여기서 \( a \)는 밑(base)입니다. \( a \)는 양수이지만 1이 될 수는 없습니다.
• 특히, \( a = e \)일 때를 자연 로그 함수라 하고 \( \ln x \)로 씁니다.

(2) 로그 함수의 미분법

• 일반적인 로그 함수 \( \log_a x \):

\(
\frac{d}{dx} [\log_a x] = \frac{1}{x \ln a}
\)

• 자연 로그 함수 \( \ln x \):

\(
\frac{d}{dx} [\ln x] = \frac{1}{x}
\)

(3) 로그 함수 미분의 예제

예제 1: \( f(x) = \ln x \)

\(
\frac{d}{dx} [\ln x] = \frac{1}{x}
\)

 

예제 2: \( f(x) = \log_2 x \)

\(
\frac{d}{dx} [\log_2 x] = \frac{1}{x \ln 2}
\)
여기서 \( \ln 2 \)는 상수입니다.

 

예제 3: \( f(x) = \ln(3x^2 + 1) \)

\(
\frac{d}{dx} [\ln(3x^2 + 1)] = \frac{1}{3x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}[3x^2 + 1]
\)
\(
= \frac{1}{3x^2 + 1} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 1}.
\)

3. 지수와 로그 함수의 결합된 미분

지수와 로그 함수가 결합된 복합 함수는 체인 룰(연쇄 법칙)을 사용해 미분합니다.

 

예제 1: \( f(x) = e^{\ln x} \)

1. \( e^{\ln x} = x \)라는 성질을 이용하면, 결과는 다음과 같습니다:
   \(
   \frac{d}{dx} [e^{\ln x}] = \frac{d}{dx} [x] = 1
   \)

예제 2: \( f(x) = \ln(e^x) \)

1. \( \ln(e^x) = x \)라는 성질을 이용하면,
   \(
   \frac{d}{dx} [\ln(e^x)] = \frac{d}{dx} [x] = 1
   \)

4. 지수·로그 함수 미분의 증명

(1) 자연 지수 함수 \( e^x \)의 미분 증명

자연 지수 함수 \( f(x) = e^x \)를 정의에 따라 미분해 봅시다:
\(
\frac{d}{dx} [e^x] = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}
\)
\(
= \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h} = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}
\)
여기서 \( \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1 \)이므로,
\(
\frac{d}{dx} [e^x] = e^x
\)

(2) 자연 로그 함수 ( \ln x )의 미분 증명

자연 로그 함수 \( f(x) = \ln x \)를 정의에 따라 미분해 봅시다:

1. \( y = \ln x \)라 하면, \( x = e^y \)로 쓸 수 있습니다.
2. 양변을 \( x \)에 대해 미분하면,
   \(
   \frac{d}{dx}[x] = \frac{d}{dx}[e^y]
   \)
3. \( e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \)이므로,
   \(
   \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}
   \)
4. 다시 \( e^y = x \)이므로,
   \(
   \frac{d}{dx} [\ln x] = \frac{1}{x}.
   \)

5. 실생활 응용

1. 복리 이자 계산:
   • 복리 이자의 변화율은 \( A(t) = A_0 e^{rt} \)로 모델링됩니다.
   • 이때 시간 \( t \)에 따른 증가율은 \( \frac{d}{dt}[A(t)] = A_0 r e^{rt} \)입니다.
2. 인구 증가:
   • 인구가 시간이 지남에 따라 지수적으로 증가할 경우, \( P(t) = P_0 e^{kt} \)로 나타낼 수 있습니다.
   • 이때 시간 \( t \)에 따른 증가율은 \( \frac{d}{dt}[P(t)] = kP_0 e^{kt} \)입니다.

6. 연습 문제

1. \(f(x) = e^{2x}\) 의 미분을 구하시오.
2. \(g(x) = \ln(5x + 1)\) 의 미분을 구하시오.
3. \(h(x) = x^2 e^x\)의 미분을 구하시오.

지수·로그 함수 미분법 연습문제 풀이

문제 1. \( f(x) = e^{2x} \)의 미분

풀이:

\(
f(x) = e^{2x}
\)

• 자연 지수 함수의 미분법에 따라 \( e^{u} \)의 미분은 \( e^u \cdot \frac{du}{dx} \)입니다.
• 여기서 \( u = 2x \)이고, \( \frac{du}{dx} = 2 \)입니다.

따라서,
\(
\frac{d}{dx}[e^{2x}] = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}.
\)

문제 2. \( g(x) = \ln(5x + 1) \)의 미분

풀이:

\(
g(x) = \ln(5x + 1)
\)

• 자연 로그 함수의 미분법에 따라 \( \ln(u) \)의 미분은 \( \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \)입니다.
• 여기서 \( u = 5x + 1 \)이고, \( \frac{du}{dx} = 5 \)입니다.

따라서,
\(
\frac{d}{dx}[\ln(5x + 1)] = \frac{1}{5x + 1} \cdot 5 = \frac{5}{5x + 1}.
\)

문제 3. \( h(x) = x^2 e^x \)의 미분

풀이:

\(
h(x) = x^2 e^x
\)

• 이 함수는 두 함수 \( x^2 \)와 \( e^x \)의 곱으로 이루어져 있으므로, 곱의 미분법을 사용해야 합니다.
• 곱의 미분법: \( \frac{d}{dx}[u \cdot v] = u'v + uv' \)

여기서,

• \( u = x^2 \), \( u' = \frac{d}{dx}[x^2] = 2x \),
• \( v = e^x \), \( v' = \frac{d}{dx}[e^x] = e^x \).

따라서,
\(
\frac{d}{dx}[x^2 e^x] = u'v + uv' = (2x)e^x + (x^2)e^x.
]
\(
= e^x(2x + x^2).
\)

최종 답 정리

1. \(\frac{d}{dx}[e^{2x}] = 2e^{2x} \)
2. \(\frac{d}{dx}[\ln(5x + 1)] = \frac{5}{5x + 1} \)
3. \(\frac{d}{dx}[x^2 e^x] = e^x(2x + x^2) \)

 

연습 문제를 통해 지수와 로그 함수 미분의 핵심 공식을 자연스럽게 이해할 수 있습니다. 😊

지수와 로그 함수의 미분법은 조금만 익숙해지면 쉽게 풀 수 있습니다. 복습하며 연습 문제를 풀어보세요! 😊