세제곱 곱셈 공식 완벽 정복: \((a+b)^3, (a-b)^3\) 그리고 인수분해까지”

 

수학에서 ‘세제곱’\(cube\)이라 함은 어떤 수(혹은 식)를 세 번 곱한 것을 의미합니다. 예컨대 \( a^3 \)은 \( a \times a \times a \)를 뜻합니다.

‘세제곱 곱셈 공식’은 두 항(항의 개수가 2개인 식) \((a+b)\) 혹은 \((a-b)\)를 세 번 곱했을 때, 그 전개 결과가 어떻게 나오는지를 체계적으로 표현하는 다항식 전개법입니다.

 

대표적으로 다음 두 가지가 널리 알려져 있습니다.

1. \((a + b)^3\) 공식
   \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3\)
2. \((a - b)^3\) 공식
   \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3\)

이 외에도 합 혹은 차의 세제곱을 인수분해하는 \((a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2 + ab)\) 식의 변형 및 \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\), \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) 같은 형태로 확장할 수 있습니다.

일반적으로 중학교 3학년 혹은 고등학교 1학년 과정에서 다루는 다항식의 곱셈/인수분해 단원에서 학습하게 되며, 이후 여러 가지 복잡한 식의 전개·인수분해 문제를 푸는 데 필수적으로 사용됩니다.

공식 유도와 이해

\((a+b)^3\) 공식 유도

\((a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)\)

를 차근차근 전개해보면,

1. 먼저 \((a+b)(a+b) = a^2 + 2ab + b^2\)
2. 그 결과에 다시 ((a+b))를 곱하면
   \((a^2 + 2ab + b^2)(a+b) \
   = a^2(a+b) + 2ab(a+b) + b^2(a+b) \
   = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 \
   = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3.\)

따라서, \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)임을 쉽게 확인할 수 있습니다.

\((a-b)^3\) 공식 유도

\((a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)\)

를 전개할 때, \((a-b)(a-b) = a^2 - 2ab + b^2\).
다시 \((a-b)\)를 곱해보면,

1. \((a^2 - 2ab + b^2)(a-b)\)
2. 각 항에 분배법칙을 적용
   \(= a^2(a-b) -2ab(a-b) + b^2(a-b) \
   = a^3 - a^2b -2a^2b + 2ab^2 + ab^2 - b^3 \
   = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\)

이렇게 해서 \((a-b)^3\)도 손쉽게 전개 공식을 얻을 수 있습니다.

예시와 문제 풀이

정수 예시

1) \((x+2)^3\) 전개

• \((x+2)^3
  = x^3 + 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 + 2^3
  = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)

2) \((3-y)^3\) 전개

• \((3-y)^3
  = 3^3 - 3(3^2)y + 3(3)(y^2) - y^3
  = 27 - 27y + 9y^2 - y^3\)
  여기서 \(a=3\), \(b=y\)로 놓고 \((a-b)^3\) 공식을 적용한 것입니다.

복합 식 예시

문제: \((2x - 3y)^3\)를 전개하시오.

• 풀이:
  1) \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) 공식 활용
  2) 여기서 \(a = 2x), (b = 3y\).
  3) 순서대로 대입해보면
  \((2x)^3 = 8x^3,
  \quad (3y)^3 = 27y^3,
  \quad 3 \times (2x)^2 \times (3y) = 3 \times 4x^2 \times 3y = 36x^2y,
  \quad 3 \times (2x) \times (3y)^2 = 3 \times 2x \times 9y^2 = 54xy^2\)
  4) 따라서,
  \((2x - 3y)^3 = 8x^3 - 36x^2y + 54xy^2 - 27y^3\)

인수분해와의 연계

세제곱 곱셈 공식을 이해하면, 곧바로 세제곱 관련 인수분해에도 응용할 수 있습니다. 예를 들어,

1) \(a^3 + b^3\)의 인수분해
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

 

즉, \(a^3 + b^3\)은 “합의 세제곱” 형태를 두 항 \((a+b)\)와 \((a^2 - ab + b^2)\)로 분해 가능합니다.

 

2) \(a^3 - b^3\)의 인수분해
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\)

이것은 \((a+b)^3\), \((a-b)^3\) 공식과 직간접적으로 연결되며, 고등학교 수준의 다항식 인수분해 문제에서 자주 활용됩니다.

 실생활 활용 예시

• 경제·금융: 원리금 계산 시 \( (1 + r)^3 \) 꼴의 복리 이자를 계산하는 상황. 예: 연이율 (r)로 3년 복리.
• 물리·공학: 정육면체의 변을 \((a+b)\)로 설정했을 때 부피(=변의 길이의 세제곱) 변화를 추정할 때.
• 3D 모델링: 3차원 좌표계에서 물체의 스케일(확대/축소) 연산이 세제곱 비례 관계를 갖는 부분과 관련.

추가 문제: 복합 연습

문제: 다음 식을 전개하거나 인수분해하시오. (1) \((x+4)^3\), (2) \(8m^3 - 27n^3\).

1) \((x + 4)^3\) 전개

• 공식을 써도 되고, 직접 전개해도 됩니다.
• \((x + 4)^3 = x^3 + 12x^2 + 48x + 64\)

2) \(8m^3 - 27n^3\) 인수분해

• 이는 \( (2m)^3 - (3n)^3 \) 형태입니다. 따라서
  \(8m^3 - 27n^3 = (2m)^3 - (3n)^3
  = (2m - 3n)\bigl((2m)^2 + (2m)(3n) + (3n)^2\bigr)\)
• 즉,
  \(= (2m - 3n)(4m^2 + 6mn + 9n^2)\)

세제곱 곱셈 공식 \((a+b)^3\), \((a-b)^3\)는 다항식 전개의 핵심적인 도구입니다. 이를 정확히 이해하면, (1) 알맞은 공식을 통해 전개 과정을 크게 단축할 수 있고, (2) 인수분해 문제나 여러 응용 문제에서 신속하게 해를 찾을 수 있습니다. 또한 복리, 물리량 계산, 3차원 도형 부피 추정 등 실생활의 다양한 장면에서도 세제곱의 개념이 자주 쓰이므로, 중·고등학교 단계에서 반드시 제대로 익히고 넘어가야 합니다.