수학에서의 이상·이하·초과·미만: 부등식 개념부터 문제 풀이까지

 

 

우리는 일상에서 “키가 170cm 이상이다”, “나이가 20세 미만이다”, “시속 80km 초과로 달렸다” 같은 표현을 흔히 접합니다.

 

이러한 표현들은 모두 ‘부등식(Inequality)’과 연결된다고 볼 수 있으며, 수학에서 이상(≥), 이하(≤), 초과(>), 미만(<) 같은 개념을 제대로 이해하는 것은 방정식 문제나 데이터 분석, 확률 이론 등 다양한 분야에서 매우 중요합니다.

이상, 이하, 초과, 미만의 기본 정의

1) 이상(≥)

• 어떤 수 \(x\)가 기준값 \(a\)보다 크거나 같은 모든 값을 의미합니다.
• 기호로 \(x \geq a\).
• 수직선에서 보면, \(a\)점을 포함해 그보다 오른쪽(큰 방향) 전체가 해당합니다. 예컨대 ‘키가 170 이상’은 키가 170cm인 사람도 포함하고, 그보다 큰 키를 가진 사람도 포함합니다.

2) 이하(≤)

• 어떤 수 \(x\)가 기준값 \(a\)보다 작거나 같은 모든 값을 의미합니다.
• 기호로 \(x \leq a\).
• 수직선에서는 \(a\)점을 포함해 그보다 왼쪽(작은 방향) 전체가 해당합니다. 예컨대 ‘온도가 0℃ 이하’라 함은 0℃ 및 영하 온도 전부를 가리킵니다.

3) 초과(>)

• 어떤 수 \(x\)가 기준값 \(a\)보다 크다는 뜻으로, \(x > a\).
• 등호\(=\)가 포함되지 않기 때문에, 기준값 \(a\)를 포함하지 않습니다.
• 실생활에서는 ‘제한 속도 시속 100km 초과’라는 표현이 있으나, 엄격한 수학적 개념으로 “초과”는 100km를 초과하는 모든 속도(100.00001...도 해당)만을 말하며, 정확히 100km는 포함되지 않습니다.

4) 미만(<)

• 어떤 수 \(x\)가 기준값 \(a\)보다 작다는 의미로, \(x < a\).
• 이 경우에도 등호가 없으므로 \(a\) 자체는 포함되지 않습니다.
• 예) ‘성인 요금은 만 13세 미만 무료가 아니다’라는 문장에서, 만 13세가 되는 순간 무료 대상에서 제외된다는 것.

예시와 문제 풀이

1) 정수 범위 예시

 

예제: 다음을 만족하는 정수 (x)의 개수를 구해보자.

\(3 \leq x < 7\)

• 이는 3 이상이면서 7 미만인 모든 정수라는 뜻입니다.
• 가능한 정수는 (3, 4, 5, 6).
• 따라서 해의 개수는 4개가 됩니다.

2) 연속적 실수 범위 예시

 

예제: \( -2 < x \leq 1.5 \)를 만족하는 (x)의 구간을 수직선에 표시해보세요.

• 이는 -2보다 크고(초과), 1.5보다 작거나 같은(이하) 모든 실수를 포함합니다.
• 수직선 표기: -2점은 뚫린 원(○)으로, 1.5점은 채운 원(●)으로 표시, 그 사이를 연결합니다.

3) 부등식 문제(초과·미만 해석)

 

문제: “우리 학교의 교복 무료 지급 대상은 키가 140cm 미만이거나 체중이 40kg 이하인 학생이다.” 라고 할 때, 키가 140cm이면서 체중이 40.5kg인 학생은 무료 지급 대상일까?

 

해설:

조건은 키 ‘140cm 미만’(즉 < 140) 또는 체중 ‘40kg 이하’(≤ 40) 중 하나라도 만족해야 합니다. 해당 학생의 키는 140cm(‘미만’이 아니므로 기준값에 해당하거나 더 크다면 조건 불만족)이고, 체중은 40.5kg(‘이하’가 아니므로 조건 불만족)입니다.

 

결론적으로 두 조건 모두 만족하지 못하므로 무료 대상이 아닙니다.

 

현실에서는 “140cm 이하인 경우”와 “40kg 미만인 경우”라는 식으로 안내가 나올 때도 있는데, 수학적으로 등호가 포함되는지(이상/이하) 혹은 아닌지(초과/미만)에 따라 결론이 달라질 수 있으므로 주의해야 합니다.

구간 표기와 부등식 해석

1) 수직선과 구간(Interval) 표기

• 닫힌구간( [a, b] ): a 이상, b 이하. 즉,\ (a \leq x \leq b\).
• 열린구간( (a, b) ): a 초과, b 미만. 즉, \(a < x < b\).
• 반열린구간( [a, b), (a, b] ): a를 포함하되 b는 포함하지 않는 식의 절충.

2) 계산에서 등호(=) 방향이 바뀌는 경우

• 음수로 나누거나 곱하면 부등호 방향이 반전되는 것이 대표적 주의사항입니다.
• 예) \(-2x \geq 6\)을 풀 때, 양변을 -2로 나누면 \(x \leq -3\)이 됩니다. 여기서 부등호가 ‘≥’에서 ‘≤’로 바뀌었다는 사실이 핵심입니다.

3) 실생활에서의 경계값 포함 여부

• 실제 통계나 행정에서는 “20세 이상 30세 미만” 같은 표현을 흔히 씁니다. 이때 20세는 포함하지만, 30세는 포함하지 않습니다.
• 만약 “30세 이하”라고 표현하면 30세를 포함하는 것이 되므로, 문언 해석과 수학적 부등식 개념이 긴밀히 연결됩니다.

이상·이하·초과·미만

이상(≥)·이하(≤)·초과(>)·미만(<)이라는 용어들은 단순히 교과서 수학 개념으로 그치지 않습니다. 학교 시험의 부등식 문제부터, 각종 법령·행정 문서에서의 지원 대상(예: 만 65세 이상, 혹은 만 8세 미만 등) 결정, 통계학적 분석(확률분포에서 특정값 이하, 미만, 초과 확률 계산)까지 광범위하게 쓰입니다.

 

부등식 개념을 정확히 이해하려면 경계값을 포함하는지(등호가 붙는 경우), 포함하지 않는지(등호 없이 부등호만 있는 경우)를 명확히 구분해야 하며, 이를 수직선 혹은 구간 표기법으로 나타내면 좋습니다. 또한, 음수와 양수를 다룰 때, 부등호가 반전되는 상황에 늘 유의해야 합니다. 이러한 기초 개념을 단단히 익히면, 이후 방정식·부등식 문제 풀이나 실생활 의사결정에서 훨씬 정확하고 일관된 분석이 가능해집니다.