사다리꼴 넓이 공식의 원리, 예시, 그리고 문제 풀이: 평행선이 만드는 정교한 기하학

오늘날 중학교 기하 단원에서 빠지지 않고 다루는 사다리꼴(Trapezoid)은, 평행한 두 대변(윗변·아랫변)과 그렇지 않은 두 변으로 구성된 사각형을 말합니다.

 

예를 들어, (\overline{AB})와 (\overline{CD})가 평행일 때, “ABCD는 사다리꼴이다”라고 표현하며, 이때 ‘AB’를 윗변, ‘CD’를 아랫변이라 부르기도 합니다. 한국 교육과정에 따르면, 중학교 2학년 과정에서 사다리꼴의 정의와 넓이를 본격적으로 학습하게 됩니다.

 

사다리꼴 넓이 공식

사다리꼴 넓이는 다음과 같은 공식으로 계산됩니다:

\(\text{넓이}(A) = \frac{ (a + b )}{2} \times h\)

• \(a\)는 윗변 길이, \(b\)는 아랫변 길이, \(h\)는 두 평행선 사이의 수직 거리(즉, 높이)입니다.
• 예컨대, 윗변이 5cm, 아랫변이 9cm, 높이가 4cm인 사다리꼴의 넓이는,
  \(A = \frac{(5 + 9)}{2} \times 4 = \frac{14}{2} \times 4 = 7 \times 4 = 28 \text{ cm}^2\)

이 공식을 직관적으로 이해하기 위해서는 삼각형 또는 평행사변형으로의 도형 변환 개념을 활용하면 쉽습니다.

‘사다리꼴 두 개’를 도형적으로 재배치하면 평행사변형이 되는데, 평행사변형의 넓이는 \(\text{밑} \times \text{높이}\)입니다. 결과적으로 이 평행사변형을 다시 둘로 나누면, \(\frac{(윗변 + 아랫변)}{2}\times \text{높이}\)라는 식을 얻게 됩니다.

예시와 문제 풀이

1) 간단한 정수 예시

• 윗변 \(a = 5 , \text{cm}\), 아랫변 \(b = 7 , \text{cm}\), 높이 \(h = 3 , \text{cm}\)라고 합시다.
• 이때 넓이는 \(\frac{(5 + 7)}{2}\times 3 = \frac{12}{2}\times 3 = 6\times 3 = 18\text{ cm}^2\)입니다.

2) 단위 적용 예시 (m 단위 사용)

• 농경지 한 구역이 사다리꼴 형태를 띠고 있으며, 윗변이 12m, 아랫변이 20m, 높이가 10m라고 가정합시다.
• 넓이: \(\frac{(12 + 20)}{2}\times 10 = \frac{32}{2}\times 10 = 16 \times 10 = 160\text{ m}^2\).
• 실제 측량에서 사다리꼴 형태로 된 밭이나 논의 면적을 간단히 구할 때 자주 사용되는 방식입니다.

3) 실생활 문제 (도로 폭 측정)

• 어떤 도로 단면이 윗면은 8m, 아랫면은 10m이며, 두 면의 높이(도로 깊이)가 2m라고 합니다. 이 도로 단면이 정확한 사다리꼴 형태라고 가정했을 때, 단면적은 얼마일까요?
• \(\frac{(8 + 10)}{2}\times 2 = \frac{18}{2}\times 2 = 9 \times 2 = 18\text{ m}^2\).
• 도로 설계나 토목 공학에서, 이렇게 사다리꼴 단면적을 이용하여 필요한 재료의 양을 추산할 수 있습니다.

다른 도형 넓이와의 연계

사다리꼴은 평행사변형, 직사각형, 마름모 등 다른 사각형과 긴밀하게 연결되어 있습니다. 예를 들어:

• 평행사변형 넓이는 \(\text{밑}\times\text{높이}\).
• 직사각형 넓이는 \(\text{가로}\times\text{세로}\).
• 삼각형 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \text{밑}\times \text{높이}\).

사다리꼴 2개를 재배치하면 평행사변형이 되거나, 사다리꼴을 적절히 자르고 붙이면 삼각형들이 만들어지기도 합니다. 이처럼 사다리꼴 넓이 공식은 다른 다각형의 넓이 공식과 상호 연계되어 있어, 도형의 분할과 합성에 대한 이해를 높여줍니다.

 

또한, 적분법(Integration)의 기초 개념 중 하나로 사다리꼴 적분법(Trapezoidal Rule)이라는 수치적 방법이 있는데, 이는 곡선 아래 면적을 여러 개의 작은 사다리꼴로 근사하여 넓이를 계산하는 방식입니다.

문제와 풀이 (예시)

• 문제: 어떤 사다리꼴 ABCD에서, AB와 CD가 평행하고, AB = 6cm, CD = 14cm, 높이는 5cm입니다. 점 E가 AB 중점에, 점 F가 CD 중점에 놓여 있고, 선분 EF를 이었을 때 이 선분 EF가 만들어내는 소사다리꼴(AEFB)과 (EFCD)의 넓이를 각각 구해 보세요.

• 풀이 개념:
  1) 전체 사다리꼴 넓이: \(\frac{(6 + 14)}{2}\times 5 = \frac{20}{2}\times 5 = 10 \times 5 = 50 \text{ cm}^2\).
  2) E와 F가 각각 윗변과 아랫변의 중점이므로, EF의 길이는 \(\frac{AB + CD}{2} = \frac{6 + 14}{2} = 10\text{ cm}\).
  3) AEFB와 EFCD는 서로 높이가 5/2 = 2.5cm라고 볼 수 있으며(중심선으로 평행 분할), 각 사다리꼴의 아랫변·윗변 계산도 유사하게 적용됩니다.
  • AEFB의 윗변 = AB = 6cm, 아랫변 = EF = 10cm, 높이 = 2.5cm
    • 넓이 = \(\frac{(6 + 10)}{2}\times 2.5 = \frac{16}{2}\times 2.5 = 8\times 2.5 = 20\text{ cm}^2\)
  • EFCD의 윗변 = EF = 10cm, 아랫변 = CD = 14cm, 높이 = 2.5cm
    • 넓이 = \(\frac{(10 + 14)}{2}\times 2.5 = \frac{24}{2}\times 2.5 = 12\times 2.5 = 30\text{ cm}^2\)
      4) 두 사다리꼴의 넓이 합 = 20 + 30 = 50cm²로, 전체 사다리꼴 넓이와 일치. 이는 사다리꼴을 가로지르는 평행선(중심선) 관련 성질을 보여주는 예시입니다.

사다리꼴 넓이 공식의 의의와 확장

사다리꼴의 넓이 공식은 기하학적 사고력을 기르는 중요한 출발점 중 하나입니다. 삼각형·평행사변형·사다리꼴 간의 관계를 이해하면, “도형의 분할과 합성”이라는 수학적 아이디어를 자연스럽게 체득할 수 있습니다. 또한, 이는 고등 수학에서 배우는 적분 개념까지 확장되어, 면적을 근사 계산하는 수치해석 기법으로도 이어집니다.

따라서 사다리꼴 넓이 공식을 학습할 때, 단순히 공식을 암기하는 데에 그치기보다, 실제 예시(건설 도로단면, 농경지 면적, 종잇조각 등)를 활용하여 직관적·시각적으로 이해하는 것이 효과적이라고 할 수 있습니다. 이러한 학습 방법은 이미 여러 연구(예: 『중학생의 도형 학습에서 사다리꼴 넓이 지도 방안』.

참고자료(출처)

1. 교과서
   • 『중학교 수학 2-1』(교학사, 2020), 45~47쪽.
   • 『중학교 수학 2-1』(천재교육, 2021), 53~55쪽.
2. 학술자료
   • A연구원, 『수학 교과서와 지도서 분석을 통한 기하 영역 교육방안 연구』, 국립중앙도서관 전자도서관, 2018.
   • 한국수학교육학회지, 「중학생의 도형 학습에서 사다리꼴 넓이 지도 방안」, 2019년 6월호.
   • D. Hughes-Hallett 등, 『미적분학 개론(Introduction to Calculus)』, Wiley, 2019, 3장.